Lo más bello que podemos experimentar es lo misterioso. Es la fuente de toda verdadera arte y ciencia - Albert Einstein Este es el conjunto de Mandelbrot uno de los más bellos y notables descubrimientos en toda la historia de la matemática sin embargo fue descubierto recién en 1980 Fractales: Los colores del infinito La invención del chip de silicona en los '70 creó una revolución en la computación y comunicaciones y por lo tanto, transformó nuestro estilo de vida Ahora vemos otra revolución que va a cambiar nuestra visión del universo y nos dará una mejor comprensión de su funcionamiento Soy Arthur C. Clarke escribo hechos de ciencia y ciencia ficción puede que conozcan mi película: 2001 una odisea espacial he visto notables desarrollos e invenciones en mi vida la más extraordinaria es el conjunto de Mandelbrot y la geometría fractal esta película explora el universo fractal y en nuestro viaje de descubrimiento nos ayudarán el profesor Ian Stewart del instituto de matemáticas - Universidad de Warwick autor de más de 100 artículos científicos Dr. Michael Barnsley profesor de matemática del instituto tecnológico de Georgia quien recibió una beca de 2.5 $M del gobierno en 1991 para desarrollar sistemas fractales de compresión de imágenes El profesor Stephen Hawking, matemático y cosmólogo y autor del libro "Breve historia del tiempo" y finalmente, el Dr. Benoit Mandelbrot cuyas matemáticas no ortodoxas, llevaron al descubrimiento del conjunto de Mandelbrot y la geometría fractal la primera vez que vi el conjunto de Mandelbrot, fue a mediados de los 80, lo recuerdo claramente en una conferencia matemática, sobre un tema completamente distinto y todos fueron a esta exhibición, por las imágenes matemáticas y tenían estas asombrosas imágenes a color y realmente nunca había visto algo así no es fácil describir el conjunto de Mandelbrot se parece a un hombre, a un gato, a un cactus, a una cucaracha tiene pequeñas partes se asemejan a casi cualquier cosa del mundo real, cosas vivas así que tiene un carácter que nos recuerda muchas cosas y sin embargo es único y novedoso en sí mismo El conjunto de Mandelbrot es real un objeto absoluto y no hay duda al respecto Cualquier matemático, científico o estudiante puede estudiarlo y encontrar lo mismo... y describir lo mismo, es una experiencia en común y tales objetos, que pueden ampliar por siempre con infinita precisión, existen pero, no son tangibles es una forma geométrica, un ícono si se quiere, que de alguna manera encarna un aspecto muy importante sobre cómo funciona el mundo alguien, de hecho, recientemente lo llamó la huella digital del Dios Ahora empezaremos seriamente nuestra exploración del conjunto de Mandelbrot un viaje que, de hecho, podría durar por siempre mucho más que la vida del universo Aquí tengo el conjunto completo, de cerca de 6 pulgadas a lo largo Ahora, si ampliamos esto, elegiré una ampliación de 13 veces y verán cómo más detalles aparecen lo interesante es que se ven pequeñas réplicas del conjunto de Mandelbrot casi idénticas, quizás sutilmente distintas del conjunto original y podemos continuar ampliando aquí tenemos una ampliación a escala 3000 de manera que la imagen original, de 6 pulgadas, ahora ocuparía media milla y sin importar cuánto la ampliamos, 1 millón de veces, 1 billón de veces hasta que todo el conjunto fuera más grande que el universo completo seguiríamos viendo nuevos patrones, nuevas imágenes que emergen porque la frontera del conjunto M es infinitamente compleja y cuando digo infinitamente, realmente quiero decir eso la mayoría cuando dice infinitamente quiere decir algo bastante grande pero esto es realmente infinito Lo que es notable, y de hecho, asombroso acerca del conjunto de Mandelbrot es que a pesar de su infinita complejidad, se basa en principios increíblemente simples a diferencia de casi todo en la matemática moderna de hecho, cualquiera que pueda sumar y multiplicar, puede entender los principios en los que se basa ni siquiera necesita restar o dividir, ni siquiera se requieren las funciones trigonométricas, para comprender cómo se crea el conjunto de Mandelbrot de hecho, podría haberse descubierto en cualquier momento de la historia y no recién en 1980 pero el problema es este: aunque se basa en sumar y multiplicar se deben realizar millones y billones de veces para crear un conjunto completo y esa es la razón por la que no se descubrió hasta la era de los computadores modernos Fue el 1º de Marzo, 1980, en el centro de investigaciones, Thomas J. Watson, de IBM que Benoit Mandelbrot vislumbró por primera vez el conjunto M el origen de este descubrimiento ocurren unas décadas antes cuando se vio por primera vez el conjunto M en París, 1970, en los artículos publicados por el matemático Gastón Julia, vinculados a los llamados números complejos cuyos resultados se conocen eventualmente como los conjuntos de Julia aunque Julia mismo, nunca vio un conjunto de Julia sólo podía imaginárselos, y no sería hasta la llegada de los computadores modernos que los conjuntos de Julia sería vistos por primera vez Para mí el primer paso para resolver problemas difíciles de matemáticas era programarlo y observar cómo se veía Empezamos a programar todo tipo de conjuntos de Julia y fue extraordinariamente entretenido y nos interesaron los conjuntos de Julia con las transformaciones más simples posibles Z va a Z cuadrado más C o sea, Z por Z más C hice muchas imágenes de esto, la primera fue muy rugosa pero esta imagen muy rugosa, no era la respuesta cada imagen rugosa generaba otra pregunta, así que generaba otra imagen, y otra y otra más y luego, aparecieron observaciones, por ejemplo, inicialmente teníamos este conjunto de Julia, como una gota, la gente le llamaba un bicho y luego, cuando ese bicho se convirtió en un dibujo más preciso tenía todo tipo de basura aldededor Ahora, la basura podía ser cualquier cosa podía ser producto de este pobre sistema computacional que teníamos así que lo que hicimos fue actuar como naturalistas como algunos de los botánicos o zoólogos del siglo XVIII que toman un microscopio para mirar de más cerca Así que miramos a estas pequeñas partes, ampliando el conjunto de Mandelbrot y desparecieron, porque eran sólo chatarra y otras no desaparecieron así es como algo extraordinario surgió que es, si ampliamos una pequeña parte del conjunto de Mandelbrot esa parte se asemeja a un conjunto de Julia así que el conjunto de Julia tiene sus versiones en miniatura en el conjunto de Mandelbrot y después de algunas semanas, teníamos esta fuerte y abrumadora impresión que esto era como un gran oso con el que nos habíamos encontrado Creo que la implicancia más importante es que a partir de fórmulas muy simples se pueden obtener resultados muy complicados Esto es fundamental desde el punto de vista de la base misma de la ciencia Porque ¿qué es la ciencia? Tenemos todo este lío que nos rodea, las cosas son totalmente incomprensibles Y luego, eventualmente, más o menos rápidamente, con mayor o menor dificultad nos encontramos con leyes simples, fórmulas sencillas. En cierto modo, una fórmula muy simple es la Ley de Newton, que también son unos pocos símbolos, permite, con trabajo duro, explicar el movimiento de los planetas alrededor del sol, y muchas cosas más hasta 50 decimales Es maravilloso: una fórmula muy simple explica todas estas cosas muy complicadas Existe un paralelismo interesante, con esta ecuación que casi todo el mundo conoce la única ecuación que todo el mundo conoce la ecuación de Albert Einstein que establece una equivalencia entre materia y energía esa fue una ecuación muy simple, con consecuencias de muy largo alcance y la ecuación del conjunto de Mandelbrot es así de simple las letras en la ecuación de Mandelbrot, representan números no como las de la ecuación de Einstein, que representan magnitudes físicas masa, velocidad, energia los números de Mandelbrot son coordenadas posiciones en el plano, para encontrar la ubicación de un punto otra diferencia de la ecuación de Einstein, y muy importante, es esta flecha doble, una especie de flecha de doble tránsito los números transitan en ambas direcciones, retroalimentándose constantemente Este proceso, de ir de ida y vuelta cíclicamente, se denomina Iteración es como un perro persiguiendo su cola el resultado de una operación, se convierte en el inicio de la siguiente, y así sucesivamente Cuando a la ecuación de Mandelbrot, se ingresa un número, que representa un punto y se itera respecto a la ecuación, dos cosas pueden pasar Ya sea, el número crece ilimitadamente, y se dispara al infinito o se reduce a cero dependiendo de qué suceda, el computador sabe dónde dibujar la frontera Así que lo que obtenemos de estas iteraciones, es una especie de mapa que divide este mundo en dos distintos territorios Afuera se ubican todos los números que tienen la libertad del infinito adentro, los números son prisioneros, atrapados y condenados a la extinción final Piensa en la pantalla de un computador, donde ver cada pequeño elemento cada pixel de la pantalla eliges uno de estos pixeles, le aplicas esta regla muchas, muchas veces y, ya sea, el pixel se mueve y desaparece completamente de la vista o se mueve hacia un punto fijo, al medio de la pantalla y lo que quieres, es distinguir entre irse al infinito o irse a cero Así que cualquier punto que se va a cero, cuando aplicas esta regla, lo pintas negro y cualquiera que se va al infinito, lo pintas de una variedad de colores, dependiendo de qué tan rápido se aleja lo importante es la región negra al centro eso es todo lo que no se escapa al seguir aplicando la regla Ahora, los colores son completamente arbitrarios podrían se cualesquiera, pero no son sin sentido una buena analogía, son las curvas de nivel, por ejemplo, de regiones montañosas donde los contornos son coloreados - las áreas son coloreadas Las áreas más altas, pueden ser pintadas en blanco, luego cafe, verde, y luego al ir al mar, azules más y más profundos simplemente para mostrar los distintos niveles que se presentan es lo mismo aquí se pueden utilizar los colores que se quiera pero ellos efectivamente definen los distintos niveles de cálculo y podemos modificarlos para obtener los resultados más maravillosos sólo vea esto ahora, usted puede pensar que las fronteras se mueven pero no hay ningún tipo de movimiento sólo los colores que están cambiando cíclicamente nada se está moviendo cuando se observa con mucha precisión detalles muy pequeños las variaciones pueden ser de una complejidad abrumadora tan complejas, que que ninguna imagen individual puede hacerles justicia es imposible, en blanco y negro, o en colores, mostrar lo complicadas que son la única forma, es usar lo que llamamos un ciclo de color esto es, los colores cambian regularmente, y cada conjunto de colores, de alguna maneras revela un variación distinta así con estos ciclos de color, se revelan de manera muy potente la extraordinaria complejidad del conjunto si todo el conjunto se representara en esta escala su final estaría tan lejano, como la estrella más cercana, Sirio muy, muy lejos, enormemente grande para este pequeño punto sin embargo, al medio de este punto, se observa una réplica exacta del todo una de las facetas más sorprendentes del conjunto de Mandelbrot es la consistencia interna del objeto: todo se sostiene y si se observa su frontera y se amplía si se observa en el lugar preciso lo que se ven, son pequeños conjuntos de Mandelbrot perfectos en cada detalle tan solo están levemente torcidos comparados con el original incluso se puede ver esto y si se mira con atención, allí están y están decorados por características externas ligeramente diferentes y luego, cerca del mismo detalle, si se amplia hacia sus fronteras se observan, pequeños, más pequeños conjuntos de Mandelbrot la segunda generación y dentro de estos una tercera generación y esto sigue por siempre así vemos islas de orden, en un mar de caos seguro que se le ha ocurrido que el conjunto de Mandelbrot se parece a un extraño insecto ciertamente tiene un carácter orgánico tiene verrugas e incluso es peludo y si nos acercamos a uno de estos pelos encontramos algo un tanto interesante ahora, mire lo que ocurre: en la punta, cada pelo se divide en otros dos y así sucesivamente cada uno dividiéndose, indefinidamente esta división, esta bifurcación que se dispara en aparentes direcciones abrutamente aleatorias es típica de estas entidades matemáticas llamadas fractales El conjunto de Mandelbrot es el fractal más famoso La palabra Fractal, se refiere a cualquier estructura geométrica que tiene detalle en todas las escalas de aumento, sin importar cuánto se amplie, se siguen viendo nuevos detalles que no se habían visto antes y el nombre de hecho lo inventó el mismo Mandelbrot el creyó que tenía que darle un nombre a esta área en la que trabajaba y entonces acuñó el término Fractal, porque transmite esta sensación de algo fragmentado, roto, fraccional, irregular nos tomó mucho tiempo llegar a mirar otras partes del universo físico y observable no estudios minuciosos, esos científicos que estudian las pulgas de las pulgas sino el ser capaces de repentinamente observar a la totalidad de la naturaleza y decir "Dios mío, no tenemos nada para describir todo esto" las nubes no están formadas de bordes rectos los árboles no son círculos, ni triángulos son algo muy, muy diferente pero hay un tipo de patrón continuo que veo en el borde de un cúmulo de nubes de esas bien arrugadas, y brillantes nubles que tienen una estructura tan menuda y tu dices "pero no hay líneas, o círculos allí" el maravilloso descubrimiento ha sido la extensión de la geometría clásica, Euclidiana, que se llama Geometría Fractal Los fractales son formas que se usan extraordinariamente en … cómo decirlo… nuestra subconscientemente mal organizada vida por ejemplo, todos saben, al ver un mapa de Inglaterra en un globo terráqueo que es una forma muy simplificada Cornwall es como un triángulo y Wales quizás un pequeño rectángulo no se puede incluir el detalle en un pequeño mapa pero en un mapa más grande, se puede añadir más detalle mientras más cercano, imagínese alguien que viene en un cohete desde muy muy lejos se ve muy poco, pero mientras más se acerca, más detalle se ve y si se acerca mucho, se empiezan a ver rocas y así la idea del borde costero desaparece, porque uno ya no sabe dónde termina la tierra y empieza el agua así que surgió en mi la necesidad de armar una geometría basada en muchos hechos matemáticos, hechos matemáticos dispersos muchos hechos dispersos en nuestra experiencia, muchos hechos dispersos en cuando a los resultados de científicos de diversa índole uniendo todo esto, usándolos como ladrillos si se quiere de una nueva construcción, que es una nueva geometría una geometría de las formas que son igualmente rugosas en todas las escalas una de las revoluciones de pensamiento que resultó de este descubrimiento es comprender que la naturaleza no se compone de objetos suaves y continuos, como siempre imaginamos, sino, más frecuentemente, de fractales y me gustaría mostrarles cómo logra esto Ahora voy a generar un fractal, frente a sus ojos lo que usted ve, es lo que se llama la semilla, en este caso, un nombre apropiado esas dos líneas representan la primera generación de la formación geométrica y el computador tiene la instrucción se continuar el crecimiento de estas líneas pero cambiando la dirección frecuentemente a distintas distancias esas son un conjunto de muy sencillas instrucciones pero observe lo que sucede, después de ejecutarlas digamos, por 10 generaciones el árbol que mostré aquí, y se asemeja mucho a un árbol natural y es simétrico porque las ramas iniciales tenían la misma longitud, en direcciones opuestas pero si cambiamos la longitud y dirección de una de las ramas, mire lo que sucede en cierta medida, este parece un árbol más realista que el primero porque en la naturaleza, rara vez se tiene simetría perfecta estructuras mucho más elaboradas se pueden crear con reglas muy similares me gustaría enfatizar que todas estas formas, u objetos, o como quiera llamarles aunque parecen reales, han sido generadas completamente por computador siguiendo unas pocas simples instrucciones y repitiéndolas una y otra vez esta es la forma como la naturaleza crea cosas es exactamente como el ADN del huevo de una mariposa de alguna manera, se desenreda y desenrolla para formar el hermoso y extraordinario patrón de sus alas con su miríada de colores y formas de alguna manera está oculto en esta semilla, en el ADN y más, pues las alas probablemente ocupan sólo una pequeña parte del ADN total. son, si se quiere, una pequeña fórmula que se descifra por el proceso de crecimiento y el seguimiento determinístico de reglas, para crear esta hermosa y natural forma los seres vivos parecieran ser estructuras complicadas producidas de reglas simples simples leyes de física y química y mucho de la estructura que se ven en los seres vivos esta, orgánica y modelada estructura las hojas en los árboles, helechos particularmente y cosas de este tipo tienen la misma característica del conjunto de Mandelbrot pequeñas partes de ellas tienen mucho, mucho detalle y, de hecho, las pequeñas partes son a veces similares al todo es muy tentador comparar cómo una simple fórmula produce el complejo conjunto M con la forma en que, pequeñas cosas en la naturaleza, producen complejos organismos y ciertamente hay algunas similitudes, en el sentido de este despliegue de un proceso las instrucciones existen, pero no una descripción del objeto mismo una con la visión de geómetra fractal, no puedes evitar verlos en todos lados cada pequeña cosa que ves, de una forma u otra, la entiendes en relación a sí misma o bien, a algo más en esta imagen que ves es como si estuviera mirando a un gran diccionario, pero donde las palabras son fragmentos de imágenes y sus definiciones, se hacen con otros fragmentos de imágenes Entonces miras una imagen yo miro en el jardín y hay árboles, pero veo este conjunto de relaciones entre la imagen y otras partes de la misma. Esas relaciones son equivalentes, ni más ni menos que, desde mi punto de vista, a la afirmación de ver, fractales en todas partes el descubrimiento de la geometría fractal modifica completamente el tipo de patrones que vemos en la naturaleza y eso es un cambio fundamental en el quehacer de matemáticos y científicos Lo que debe generar un gran efecto! La geometría fractal ya se está aplicando a través de las ciencias físicas, como una nueva forma describir conjuntos de datos Y el sueño es que un geómetra fractal pueda describir una nube tan simplemente como un arquitecto describe una casa. El puede utilizar sus intrincadas y repetibles fórmulas, fórmulas simples para describir estas inimaginablemente complejas y hermosas formas y luego comunicármelas a mí, a otro científico, a usted Esta es, no mi línea recta, constrúyala recta, sino, mi desordenada fórmula, que es muy simple, constrúyala irregular así Uno puede pensar que debe haber incluso una especie de semáforo de la naturaleza del mundo natural que se dice a sí mismo cómo debe ser Volvamos al conjunto de Mandelbrot y veamos algo de la extraña flora y fauna de este zoológico Mandelbrotiano Ciertamente existen similitudes entre estas formas. Podemos reconocer que son como familiares unos de otros y sin embargo son todos diferentes, a pesar de su similitud Existe una infinita variedad aquí, tal cual como la hay en el mundo de la naturaleza Vemos formas que nos recuerdan trompas de elefantes tentáculos de pulpos, caballos de mar, ojos compuestos de insectos. Existe una conexión entre el conjunto de Mandelbrot y cómo opera la naturaleza. Veo a Saturno, uno de los objetos más hermosos en el cielo de hecho, hemos descubierto recientemente que los hermosos anillos de Saturno que han intrigado a astrónomos por siglos, ilustran algunos de los fenómenos que hemos discutido del conjunto de Mandelbrot Al acercarse acerca a Saturno, se ven más y más detalles con los que nadie había soñado antes de la era espacial y ahora podemos obtener tomas cercanas de Saturno y sus anillos. No es sorpresivo que si encontramos tantos ejemplos de Fractales en este planeta que haya incluso más en los cielos Para mí, sólo mirar la vía láctea es ver un Fractal Tiene un extraordinario carácter punteado, y si lo miras con lupa, o sea un telescopio, y lo miras más de cerca encontrarás cientos y miles de pequeños puntos donde creías que no había nada Ahí tienes un ejemplo de una estructura que sigue hacia adento con más y más detalle. Tuve el gran privilegio conversar con el famoso cosmólogo, Stephen Hawking, cuando pasé recientemente por Londres Y le dije al Dr. Hawking. "El conjunto es infinito en detalle Uno podría explorarlo por siempre, acercándose a el El universo real, sin embargo, parece tener límites A medida que se baja al micro-mundo, se observan, por supuesto, moléculas átomos, neutrones y partículas subatómicas, Quarks, pero, ¿se extiende el universo real por siempre, hay un límite, un sótano, a diferencia del conjunto de Mandelbrot?" En el caso del universo, pareciera haber una escala limitante. Se llama la longitud de Planck y es cerca de un millón, de billón de billón de veces más pequeñas que una pulgada Esto quiere decir que hay un límite respecto a cuán complejo puede ser universo También significa que el universo podría ser descrito por una teoría relativamente simple al menos en términos de las longitudes de Planck. Sólo espero que seamos suficientemente inteligentes para encontrarla. El piensa que existe un límite en el universo real un pequeño tamaño bajo el cual nada existe, llamado la longitud de Planck que sería la millonésima, de millonésima, de millonésima, de millonésima parte de un cm. inimaginablemente pequeña, pero esa es la unidad fundamental de tamaño, el tipo de aspereza del universo, nada más pequeño que eso. Así que quizás el universo real llegue hasta allí, en pequeñez, o quizás podría seguir infinitamente, como el conjunto de Mandelbrot. Simplemente no lo sabemos aun Frecuentemente me dicen "Estas imágenes son bonitas, pero ¿cuál es su valor práctico?" Y estoy tentado a responder en las famosas palabras de Faraday cuando le preguntaron sobre la utilidad de sus experimentos con cables y magnetos Dijo: "¿Qué utilidad tiene un recién nacido?" A Faraday también se le recuerda por haberle dicho al primer ministro "Un día, Sr. Primer MInistro, usted podrá cobrar impuestos de esto" Y, de hecho, la Geometría Fractal, el tipo de asuntos que hemos mostrado tiene un enorme valor comercial El descubrimiento del conjunto de Mandelbrot y los fractales es muy importante y lo es a un nivel intelectual, más que en un nivel de tecnología dura Hay algunas aplicaciones, pero no está integrado a artefactos importantes del hogar a diferencia del chip de silicona Y así son la mayoría de los desarrollos de la matemática Primero viene la idea, y luego se traduce en aplicaciones prácticas Y ya podemos ver cómo ocurre el principio de esa traducción Ya no se necesita comparar un conjunto de datos con una línea recta, para analizarlos científicamente Ahora puedes utilizar una curva Fractal o medir alguna dimensión fractal de los datos, y hacer ciencia. así, la primera aplicación es contar con una mejor descripción del mundo observable. Existe una nueva rama de matemáticas disponible para todos los científicos y tal aplicación se extenderá por siglos como la principal herramienta descriptiva de la ciencia física Los fenómenos de gran irregularidad son muy generalizados en la naturaleza. al estudiar la llamada materia condensada, polímeros, y tales problemas físicos uno encuentra formas de gran complejidad. Estas formas no se podían examinar geométricamente antes, porque no había lenguaje para describirlas. Uno sólo podría hacer afirmaciones indirectas sobre ellas Decir, si se hace tal o cual medida sobre ellos, se obtienen tales o cuales resultados. eso es todo, la sombra del objeto, el efecto que tuvo sobre cierta medición Pero el objeto mismo, no se podía describir con otra geometría. Ese es un ejemplo muy mundano, pero es la punta del iceberg. Hay un enorme número de estructuras, sólo descriptibles por la geometría fractal. Así que la principal aplicación, será como una herramienta para la ciencia misma. Ciencia y luego ingeniería y más allá hacia la construcción de los dispositivos y equipos de nueva generación que seguirán como una aplicación de lo que nosotros pensamos Habrá un nuevo tipo de, no computadores, porque antes de percibirlos y entenderlos ellos no estaban aquí; uno no se los imaginaba. Pero habrá nuevos dispositivos, extraordinarios nuevos dispositivos, basados en los principios de la geometría fractal, que emergerán en siglos venideros. Suponga que usted es dueño de una estación de televisión, o un satélite que podría transmitir sólo un programa de televisión, y alguien le dijera que con la misma energía puede transmitir no uno, sino diez ¿Cuánto valdría esto para usted? Obviamente multiplicaría el tamaño de su inversión en 10 veces Bueno, ese es un tipo de cosas que la geometría fractal hace posible. Atlanta, Georgia, sede del sistema de sistemas iterados de Michael Barnsley. En 1991 Barnsley recibió una beca de 2.5 $M del gobierno para desarrollar sistemas fractales de compresión de imágenes Corporaciones como MIcrosoft, Mitsubishi, Multicom y Virgin, usan el software de compresión Barnsley El momento más emocionante me ocurrió cuando descubrí el teorema del Collage Intentábamos controlar un tipo de sistemas dinámicos para crear imágenes de hojas. luego, luchando con el problema, me di cuenta de repente lo simple que era. se debe formar un collage, recubrir el objeto con copias de sí mismo más pequeñas, copias reducidas para que todo el objeto este embaldosado con copias de sí mismo. Es una declaración autoreferente Como si se tomara un triángulo y se cubriera con pequeños triángulos o un cuadrado y cubrirlo con pequeños cuadrados. Bueno, el teorema decía, que si se toma un helecho y se cubre con pequeños helechos entonces se habrá creado un sistema dinámico o una fórmula de un helecho Pero si efectivamente se intentaba crear una imagen usando el teorema del collage tomaba cientos de horas de estudiantes de postgrado trabajando en el problema. Y el santo grial nuestro era el problema de si es posible decirle al computador que dada una imagen digital, automáticamente buscara su fórmula fractal. El descubrimiento de cómo calcular el collage para una imagen arbitraria me llegó en un sueño Desde mis inicios como matemático, solía tener una pesadilla recurrente la cual tenía que ver con las matrices podría recordarme a una, quizás, un antiguo tablero telefónico. Bueno, en el sueño hay miles de agujeros y muchos cables conectando todos con todos Y siempre había una suerte de tensa confusión en el tablero con todos sus cables yendo en todas direcciones, siempre en un horrible enredo. Y de alguna manera me pareció a una matriz Tuve esta pesadilla, muchas veces por 20 años. La noche que se cumplieron dos años de la muerte de mi padre vi, en el sueño, cómo se podían ordenar todos los cables, desenredarlos y dejarlos ordenadamente conectados y cómo unirlos todos en la red Y desperté sabiendo que lo había descubierto todo el secreto de la compresión fractal de imágenes cómo mirar automáticamente a una imagen digital, ingresada en baja resolución como las verían tus ojos y cómo convertirlas en, (a) una fórmula o (b) una entidad de infinita resolución. Así que el objetivo es ahora, capturar este fuego de Prometeo, si se quiere, esta maravilla fractal, y ponerla en una caja para dejarlo disponible para todos. Usando el sistema de Michael Barnsley, podemos comprimir imágenes requiriendo muchos menos bits para almacenarlas ahora, comprimir o expandir una imagen, depende de los mismos principios fractales y las teorías de Barnsley se han convertido en una realidad comercial veamos uno de sus programas si se toma una pequeña parte de esta imagen, almacenada digitalmente y la ampliamos, queda muy pixelada y tiene enormes pixeles ahora, si tomamos esta imagen tan borrosa y le aplicamos este analizador fractal podemos, de hecho, reconstruir los detalles de la imagen original si comparamos ambas imágenes, la diferencia es asombrosa entonces, ¿de dónde salió todo este detalle? bueno, esta imagen fractal es una predicción, que se basa en la información original de la imagen de baja resolución y se puede, por cierto, ampliar esta imagen cuanto se quiera porque, tal como con el conjunto M, tiene una resolución infinita lo que se ven son, texturas fractales, creaciones que imitan la información faltante Si se quiere, son interpolaciones o predicciones, pero usando geometría fractal lo que ocurre es que la información original se modela por una fórmula fractal y luego vemos tal fractal en más y más detalle todos estamos acostumbrados a ver por televisión la vista satelital de la tierra las nubes moviéndose sobre los continentes, formación de tormentas y más estos satélites meteorológicos han operado por décadas lo que no es tan conocido, es que también hay satélites "espía" o de reconocimiento que producen imágenes de la tierra, o al menos puntos de interés particular con miles de veces mayor definición y esto significa que tienen que transmitir enormes cantidades de información mucha más información que los satélites meteorológicos por lo tanto, la compresión de información, la posibilidad de exprimir imágenes enviarlas y luego expandirlas de vuelta en la tierra, es de enorme importancia militar y podemos contar con estos satélites dado que la 3ª guerra mundial aun no ha estallado y ojalá nunca estalle La geometría fractal también tiene sorpresivas aplicaciones para la medicina este es el sistema circulatorio del cuerpo humano y se puede reconocer como un tipo de fractal ahora realmente podemos entender lo que ocurre cuando nuestra sangre fluye este es el fractal más importante de todos en el cuerpo humano una pequeña porción de los increíblemente complejos circuitos neuronales puede que nunca entendamos cómo funcionan pero si llegamos a entenderlo, sospecho que será por alguna aplicación de la geometría fractal por qué creo que hay alguna conexión entre el conjunto M y los circuitos neuronales porque cuando cierro mis ojos y presiono mis párpados con mis dedos veo estos patrones, que seguro le son familiares También los vemos cuando nos dan un golpe en la cabeza y a veces hacen eco de algunas de las formas del conjunto de Mandelbrot También me han contado, y yo no lo he probado nunca, que cuando se ingieren ciertos químicos ilegales, se logran alucinaciones visuales sorprendentemente similares a patrones del conjunto de Mandelbrot. ¿Por qué estos patrones extraños tienen tal atractivo? bueno, obviamente desencadenan alguna resonancia en la mente e hay una curiosa coincidencia con el nombre "Mandelbrot" y la palabra "Mandala" un símbolo religioso Estoy seguro es pura coincidencia, pero el conjunto de Mandelbrot pareciera contener una enorme cantidad de Mandalas o símbolos El patrón de Paisley es otro, y estoy seguro que hay muchos más Y el diseño eclesiástico, como el de vitrales, y particularmente el arte islámico encontramos muchos ecos del conjunto de Mandelbrot, siglos antes de ser descubierto. Yo tuve esta experiencia, que mucha gente repitió y luego me contó inmediatamente cuando los vi por primera vez, y fui el primero en verlos nadie podría haberlos visto antes, sin embargo unos días después, o a veces horas o minutos, se convertía en algo casi familiar Iba encontrando características en el, que a había visto en algún lado, pero ¿Dónde? Bueno, primero que todo, como he dicho, en fenómenos naturales y quizás en el arte Luego uno se pregunta por qué y sabemos ciertas neuronas manejan formas, límites y otras que manejan los colores. ¿tiene también el cerebro células que manejan la complicación fractal? No lo sabemos, es una pregunta puramente hipotética. Es una pregunta tentadora, pero no sabemos nada al respecto. Aquí hay otra extraña resonancia Esta serie de pinturas fueron creadas en 1928, por un paciente de Carl Gustav Jung, co-fundador de la psicología moderna Jung se hubiera sorprendido y encantado de saber que la revolución computacional cuyos inicios apenas vivió para ver le darían un nuevo ímpetu a su teoría del inconsciente colectivo La idea de una fuente de conciencia, compuesta de imágenes primordiales y universales que todos compartimos La sub-estructura o base de conciencia. La mente claramente encuentra resonancias en el conjunto M Pero hay implicancias más amplias aun Esta matemática ofrece nuevas visiones sobre el funcionamiento del universo. ¿Cuánto de la vida está determinado y cuánto es parte del azar? Cuando a Isaac Newton se le ocurrieron las leyes de movimiento y gravedad la imagen que emerge es la de un universo que funciona como reloj Era una máquina que marcaba en un curso predeterminado. Sólo necesitamos saber en qué instante nos encontramos y qué está haciendo ahora para poder predecir el futuro por siempre Y hay dos desafíos en esto, uno es la Mecánica Cuántica, que plantea de hecho que existe un azar irreducible en el tejido mismo del universo y que no se puede determinar exactamente qué está haciendo ahora, o nunca pero lo otro, que es lo que surge del conjunto de Mandelbrot y su matemática es que, incluso en un mundo newtoniano, en la práctica no se puede predecir el futuro Puede ser determinístico en principio, pero no en la práctica. Esta es la forma en la que Dios creo un sistema, que nos dio libre albedrío. Es la más brillante maniobra del universo: crear algo, en lo que todo es libre ¿Cómo puedes lograr esto? Albert Einstein se resistía a la idea de una deidad que jugara a los dados. Le escribió una carta a Max Born, diciendo "usted cree en un Dios que juega a los dados, y yo en una ley y orden completos" Así que creía que el azar y las leyes determinísticas no son compatibles y prefería las leyes determinísticas. Lo que que nos muestra el conjunto de Mandelbrot y el caos, es que se puede contar ambos al mismo tiempo Así que no es si Diós juega a los dados, sino cómo lo hace. puedo decir que explorando este conjunto nunca he tenido la sensación de invención nunca sentí que mi imaginación fue suficientemente rica para inventar todas estas extraordinarias cosas. Yo las estaba descubriendo, allí estaban, cuando nadie las había visto antes Es maravilloso, una fórmula muy simple explica todas estas cosas tan complicadas. Y la meta de la ciencia es partir del enredo, para explicarlo con simples fórmulas. Es como el sueño de la ciencia, que implementa de una manera fantástica. Cuando miro en el computador estas hermosas imágenes que se despliegan recuerdo estas famosas líneas de Keat: "mágicas ventanas que se abren a peligrosos mares en prodigiosas tierras ya olvidadas" El conjunto de Mandelbrot es, en efecto, uno de los más sorprendentes descubrimientos en toda historia de la matemática. Quién hubiera soñado que una tan simple ecuación generaría imágenes de,literalmente, infinita complejidad Todos hemos leído historias acerca de mapas que revelan la ubicación de un tesoro escondido. Bueno, en este caso, el mapa es el tesoro